برهنة ان المثلث متساوي الساقين
براهين بعض خواص المثلّث متساوي السّاقين الخاصية الأولى : زاويتا قاعدة المثلّث متساوي السّاقين متساويتان، ولإثبات هذه الخاصّيّة نفرض أنّ المثلّث (أ ب ج) مثلّث متساوي السّاقين فيه: أب= أج، وتُمثّل الزاوية (أ) رأس المثلّث، أمّا زاويتا القاعدة فهما: الزاوية (أ ب ج)، والزاوية (أ ج ب)، وحتى نثبت أنّ زاويتي القاعدة متساويتان: ننزل عموداً من رأس المثلّث (أ) على قاعدة المثلّث (ب ج) ليقطعها في النقطة (د)، فيتكوّن المثلّثان القائمان (أ د ب) والمثلّث (أ د ج). نبحث في تطابق المثلّثين (أ د ب) و(أ د ج).
أ ب=أ ج (المثلّث متساوي السّاقين).
زاوية (أ د ب) وزاوية (أ د ج) متساويتان (قياس كل منهما 90 درجة). الضلع (أ د) هو ضلع مشترك .
ينطبق المثلّثان بوتر وضلع وزاوية قائمة، لذا فإنّ الزاوية (أ ب ج) تساوي الزاوية (أ ج ب).
الخاصية الثّانية: العمود النّازل من رأس الزّاوية ينصّفها، وينصّف الضّلع المقابل لها، أي ينصّف قاعدة المثلّث، وحتىّ نثبت أنّ طول (ب د) يساوي طول (د ج)، وبأنّ الزاوية (ب أ د) تساوي الزاوية (ج أ د): نفرض وجود المثلّث متساوي السّاقين المذكور في الخاصية الأولى أعلاه. نبحث في تطابق المثلّثين (أ ب د) و(أ ج د). أ ب= أ ج (مُعطى).
الزاويتان (أ د ب) و(أ د ج) متساويتان (قياس كلّ منهما 90 درجة).
الضلع (أد) هو ضلع مشترك (في العمل).
ينطبق المثلّثان بوتر وضلع وزاوية قائمة، والنّتيجة هي: طول (ب د) يساوي طول (د ج)، والزاوية (ب أ د) تساوي الزاوية (ج أ د).